Comparaison, contraste et calcul des approches paramétriques et non paramétriques pour estimer la volatilité conditionnelle 8230 Y compris: APPROCHE GARCH Comprenant: Lissage expo - nentiel (EWMA) Lissage exponentiel (paramétrique conditionnel) GARCH et EWMA 21 mai 2010 par David Harper, Les méthodes modernes accordent plus d'importance à l'information récente. EWMA et GARCH accordent plus d'importance à l'information récente. De plus, comme EWMA est un cas particulier de GARCH, EWMA et GARCH utilisent un lissage exponentiel. GARCH (p, q) et en particulier GARCH (1, 1) GARCH (p, q) est un modèle hétéroscédastique général autorégressif conditionnel. Les principaux aspects sont: Autoregressive (AR). La variance de demain8217s (ou volatilité) est une fonction régressée de la variance8212s d'aujourd'hui; elle régresse sur elle-même conditionnelle (C). La variance de demain dépend de la variance la plus récente. Une variance inconditionnelle ne dépendrait pas de la variance aujourd'hui Heteroskedastic (H). Les variances ne sont pas constantes, elles évoluent au fil du temps, GARCH régresse sur des termes historiques. Les termes décalés sont soit une variance, soit des retours au carré. Le modèle GARCH (p, q) générique régresse sur (p) les retours au carré et (q) les variances. Par conséquent, GARCH (1, 1) 8220lags 8221 ou régresse sur la dernière période 8217s carré retour (c'est-à-dire juste 1 retour) et dernière période 8217s variance (c'est-à-dire seulement 1 variance). GARCH (1, 1) donnée par l'équation suivante. La même formule GARCH (1, 1) peut être donnée avec des paramètres grecs: Hull écrit la même équation GARCH que: Le premier terme (gVL) est important parce que VL est la variance moyenne à long terme. Par conséquent, (gVL) est un produit: c'est la variance moyenne pondérée à long terme. Le modèle GARCH (1, 1) résout la variance conditionnelle en fonction de trois variables (variance précédente, retour précédent2 et variance à long terme): La persistance est une caractéristique intégrée au modèle GARCH. Astuce: Dans les formules ci-dessus, la persistance est (b c) ou (alpha-1 bêta). La persistance fait référence à la rapidité avec laquelle la variance revient (ou lentement) vers 8222decays8221 vers sa moyenne à long terme. La persistance élevée équivaut à la décroissance lente et à la régression lente vers la moyenne8221. La faible persistance équivaut à la décomposition rapide et à la réversion rapide vers la moyenne8221. Une persistance de 1,0 n'implique pas de réversion moyenne. Une persistance de moins de 1,0 implique une réversion à la moyenne, 8221 où une plus faible persistance implique une plus grande réversion à la moyenne. Astuce: Comme ci-dessus, la somme des pondérations attribuées à la variance retardée et au rendement au carré retardé est la persistance (persistance bc). Une persistance élevée (supérieure à zéro mais inférieure à un) implique une lente réversion de la moyenne. Mais si les poids attribués à la variance retardée et au rendement au carré retardé sont supérieurs à un, le modèle est non stationnaire. Si (bc) est supérieur à 1 (si bc gt 1) le modèle est non stationnaire et, selon Hull, instable. Dans ce cas, EWMA est préféré. Linda Allen dit à propos de GARCH (1, 1): GARCH est à la fois 8220compact8221 (c'est-à-dire relativement simple) et remarquablement précis. Les modèles GARCH prédominent dans la recherche scientifique. De nombreuses variantes du modèle GARCH ont été tentées, mais peu ont été améliorées sur l'original. L'inconvénient du modèle GARCH est sa non-linéarité sic Par exemple: Résoudre pour la variance à long terme dans GARCH (1,1) Considérons l'équation GARCH (1, 1) ci-dessous: Supposons que: le paramètre alpha 0,2, Et Notez que les oméga est 0,2 mais don8217t erreur oméga (0,2) pour la variance à long terme Omega est le produit de gamma et la variance à long terme. Donc, si alpha beta 0.9, alors gamma doit être 0.1. Étant donné que l'oméga est de 0,2, nous savons que la variance à long terme doit être de 2,0 (0,2 184 0,1 2,0). GARCH (1,1): Mere différence de notation entre Hull et Allen EWMA est un cas particulier de GARCH (1,1) et GARCH (1,1) est un cas généralisé de EWMA. La différence saillante est que GARCH comprend le terme supplémentaire pour la réversion moyenne et EWMA manque une réversion moyenne. Voici comment nous obtenons de GARCH (1,1) à EWMA: Alors nous laissons 0 et (bc) 1, tels que l'équation ci-dessus simplifie à: Ceci est maintenant équivalent à la formule pour exponentiellement pondérée moyenne mobile (EWMA): Dans EWMA, le paramètre lambda détermine maintenant le 8220decay: 8221 un lambda qui est proche d'un (lambda élevé) présente une décroissance lente. L'approche RiskMetricsMC RiskMetrics est une forme de marque de l'approche de moyenne mobile exponentiellement pondérée (EWMA): Le lambda optimal (théorique) varie selon la catégorie d'actif, mais le paramètre optimal global utilisé par RiskMetrics a été 0,94. Dans la pratique, RiskMetrics utilise uniquement un facteur de décroissance pour toutes les séries: 183 0,94 pour les données quotidiennes 183 0,97 pour les données mensuelles (mois défini comme 25 jours de bourse) Techniquement, les modèles quotidiens et mensuels sont incohérents. Cependant, ils sont faciles à utiliser, ils se rapprochent assez bien du comportement des données réelles, et ils sont robustes à la spécification erronée. Remarque: GARCH (1, 1), EWMA et RiskMetrics sont paramétriques et récursifs. Résumé GARCH (1, 1) est un RiskMetrics généralisé et, inversement, RiskMetrics est GARCH (1, 1) est donné par: Les trois paramètres sont des poids et doivent donc se limiter à un: Conseil: Soyez prudent sur le premier terme dans le Equation de GARCH (1, 1): omega () gamma () (variance moyenne à long terme). Si on vous demande la variance, vous devrez diviser le poids afin de calculer la variance moyenne. Déterminer quand et si un modèle GARCH ou EWMA devrait être utilisé dans l'estimation de la volatilité En pratique, les taux de variance ont tendance à être moyen de rétrograder donc, le modèle GARCH (1, 1) est théoriquement supérieur (8220 plus attrayant que 8221) au modèle EWMA. Rappelez-vous, c'est la grande différence: GARCH ajoute le paramètre qui pondère la moyenne à long terme et donc il incorpore la réversion moyenne. Astuce: GARCH (1, 1) est préféré sauf si le premier paramètre est négatif (ce qui est implicite si alpha beta gt 1). Dans ce cas, GARCH (1,1) est instable et EWMA est préféré. Expliquer comment les estimations GARCH peuvent fournir des prévisions plus précises. La moyenne mobile calcule la variance sur la base d'une fenêtre de suivi des observations, par ex. Les dix jours précédents, les 100 jours précédents. Il ya deux problèmes avec la moyenne mobile (MA): Caractéristique fantôme: les chocs de volatilité (augmentations soudaines) sont abruptement incorporés dans la métrique MA et puis, lorsque la fenêtre de fuite passe, ils sont brusquement supprimés du calcul. De ce fait, la métrique MA change en fonction de la longueur de la fenêtre choisie. Les informations de tendance ne sont pas incorporées. Les estimations GARCH améliorent ces faiblesses de deux façons: les poids plus élevés sont attribués à des observations plus récentes. Cela permet de surmonter les fantômes, car un choc de volatilité aura immédiatement un impact sur l'estimation, mais son influence disparaîtra graduellement au fil du temps. Un terme est ajouté pour incorporer la réversion à la moyenne. Expliquez comment la persistance est liée à la réversion à la moyenne. Étant donnée l'équation de GARCH (1, 1): La persistance est donnée par: GARCH (1, 1) est instable si la persistance gt 1. Une persistance de 1,0 indique aucune réversion moyenne. Une faible persistance (par exemple 0,6) indique une désintégration rapide et une réversion élevée à la moyenne. Astuce: GARCH (1, 1) a trois poids attribués à trois facteurs. La persistance est la somme des pondérations attribuées à la fois à la variance retardée et au rendement au carré retardé. L'autre poids est affecté à la variance à long terme. Si P (persistance) est élevée, alors G (réversion moyenne) est faible: la série persistante n'est pas fortement réversible en moyenne, elle présente 8220 décroissance lente8221 vers la droite signifier. Si P est faible, alors G doit être élevé: la série impersive signifie fortement qu'il revient à la moyenne. La variance moyenne, inconditionnelle du modèle GARCH (1, 1) est donnée par: Expliquer comment EWMA systématiquement rabais des données plus anciennes et identifier les facteurs de désintégration quotidienne et mensuelle de RiskMetrics174. La moyenne mobile pondérée exponentiellement (EWMA) est donnée par: La formule ci-dessus est une simplification récursive de la série 8220true8221 EWMA qui est donnée par: Dans la série EWMA, chaque poids attribué au carré renvoie est un rapport constant du poids précédent. Plus précisément, lambda (l) est le rapport entre les poids voisins. De cette façon, les données plus anciennes sont systématiquement actualisées. La décote systématique peut être progressive (lente) ou abrupte, selon lambda. Si lambda est élevé (par exemple 0,99), l'actualisation est très graduelle. Si lambda est faible (par exemple 0,7), l'actualisation est plus brusque. Les facteurs de décroissance RiskMetrics TM: 0,94 pour les données quotidiennes 0,97 pour les données mensuelles (mois défini comme 25 jours de bourse) Expliquez pourquoi les corrélations de prévision peuvent être plus importantes que la prévision des volatilités. Lors de la mesure du risque du portefeuille, les corrélations peuvent être plus importantes que la volatilité des instruments individuels. Par conséquent, en ce qui concerne le risque de portefeuille, une prévision de corrélation peut être plus importante que les prévisions de volatilité individuelles. Le taux d'écart futur attendu, en (t) périodes en avant, est donné par: Par exemple, supposons qu'une estimation de la volatilité actuelle (période n) soit donnée par le GARCH (1, 1) ): Dans cet exemple, alpha est le poids (0,1) attribué au précédent carré (le précédent était 4), bêta est le poids (0,7) attribué à la variance précédente (0,0016). Quelle est la volatilité future prévue, en dix jours (n 10) Tout d'abord, résolvez la variance à long terme. Ce n'est pas 0.00008 ce terme est le produit de la variance et son poids. Comme le poids doit être 0,2 (1 - 0,1 -0,7), la variance à long terme 0,0004. Deuxièmement, nous avons besoin de la variance actuelle (période n). Cela nous est presque donné ci-dessus: Maintenant, nous pouvons appliquer la formule pour résoudre le taux attendu de variance future: C'est le taux de variance attendu, de sorte que la volatilité attendue est d'environ 2,24. Remarquez comment cela fonctionne: la volatilité actuelle est d'environ 3,69 et la volatilité à long terme est 2. La projection à 10 jours 8220fades8221 le taux actuel plus proche du taux à long terme. La volatilité non paramétrique de la volatilité L'exploration de la moyenne mobile pondérée exponentiellement La volatilité est la mesure la plus courante du risque, mais elle est disponible en plusieurs saveurs. Dans un article précédent, nous avons montré comment calculer la volatilité historique simple. Nous avons utilisé les données réelles sur les actions de Googles afin de calculer la volatilité quotidienne basée sur 30 jours de données sur les actions. Dans cet article, nous améliorerons la volatilité simple et discuterons de la moyenne mobile exponentiellement pondérée (EWMA). Historique vs. Volatilité implicite Tout d'abord, mettons cette métrique dans un peu de perspective. Il existe deux grandes approches: la volatilité historique et implicite (ou implicite). L'approche historique suppose que le passé est prologue, nous mesurons l'histoire dans l'espoir qu'elle est prédictive. La volatilité implicite, d'autre part, ignore l'histoire qu'elle résout pour la volatilité impliquée par les prix du marché. Elle espère que le marché le sait mieux et que le prix du marché contient, même implicitement, une estimation de la volatilité. Si l'on se concentre uniquement sur les trois approches historiques (à gauche ci-dessus), elles ont deux étapes en commun: Calculer la série de retours périodiques Appliquer un schéma de pondération D'abord, nous Calculer le rendement périodique. C'est généralement une série de rendements quotidiens où chaque retour est exprimé en termes continuellement composés. Pour chaque jour, nous prenons le log naturel du ratio des prix des actions (c'est-à-dire le prix aujourd'hui divisé par le prix d'hier, et ainsi de suite). Cela produit une série de rendements quotidiens, de u i à u i-m. Selon le nombre de jours (m jours) que nous mesurons. Cela nous amène à la deuxième étape: c'est là que les trois approches diffèrent. Dans l'article précédent (Utilisation de la volatilité pour mesurer le risque futur), nous avons montré que, sous quelques simplifications acceptables, la variance simple est la moyenne des rendements au carré: Notez que ceci récapitule chacun des rendements périodiques, puis divise ce total par Nombre de jours ou observations (m). Donc, c'est vraiment juste une moyenne des rendements périodiques au carré. Autrement dit, chaque retour au carré reçoit un poids égal. Ainsi, si l'alpha (a) est un facteur de pondération (spécifiquement, un 1m), alors une variance simple ressemble à ceci: L'EWMA améliore la variance simple La faiblesse de cette approche est que tous les retours gagnent le même poids. Le retour hier (très récent) n'a plus d'influence sur la variance que le rendement des derniers mois. Ce problème est résolu en utilisant la moyenne mobile exponentiellement pondérée (EWMA), dans laquelle les rendements plus récents ont un poids plus important sur la variance. La moyenne mobile exponentiellement pondérée (EWMA) introduit lambda. Qui est appelé le paramètre de lissage. Lambda doit être inférieur à un. Sous cette condition, au lieu de pondérations égales, chaque rendement au carré est pondéré par un multiplicateur comme suit: Par exemple, RiskMetrics TM, une société de gestion des risques financiers, a tendance à utiliser un lambda de 0,94 ou 94. Dans ce cas, le premier La plus récente) le rendement périodique au carré est pondéré par (1-0.94) (. 94) 0 6. Le prochain rendement au carré est simplement un multiple lambda du poids antérieur dans ce cas 6 multiplié par 94 5.64. Et le troisième jour antérieur, le poids est égal à (1-0,94) (0,94) 2 5,30. C'est le sens de l'exponentielle dans EWMA: chaque poids est un multiplicateur constant (c'est-à-dire lambda, qui doit être inférieur à un) du poids des jours précédents. Cela garantit une variance pondérée ou biaisée vers des données plus récentes. (Pour en savoir plus, consultez la feuille de calcul Excel pour la volatilité de Googles.) La différence entre la volatilité et l'EWMA pour Google est illustrée ci-dessous. La volatilité simple pèse efficacement chaque rendement périodique de 0.196 comme indiqué dans la colonne O (nous avions deux années de données quotidiennes sur les cours des actions, soit 509 déclarations quotidiennes et 1509 0.196). Mais notez que la colonne P attribue un poids de 6, puis 5.64, puis 5.3 et ainsi de suite. C'est la seule différence entre la variance simple et EWMA. Rappelez-vous: Après avoir additionné toute la série (dans la colonne Q), nous avons la variance, qui est le carré de l'écart-type. Si nous voulons la volatilité, nous devons nous rappeler de prendre la racine carrée de cette variance. Quelle est la différence entre la volatilité quotidienne entre la variance et l'EWMA dans l'affaire Googles? Sa significative: La variance simple nous a donné une volatilité quotidienne de 2,4 mais l'EWMA a donné une volatilité quotidienne de seulement 1,4 (voir la feuille de calcul pour plus de détails). Apparemment, la volatilité de Googles s'est installée plus récemment donc, une simple variance pourrait être artificiellement élevée. La variation d'aujourd'hui est une fonction de la variation des jours Pior Vous remarquerez que nous devions calculer une longue série de poids exponentiellement en déclin. Nous ne ferons pas les calculs ici, mais l'une des meilleures caractéristiques de l'EWMA est que la série entière se réduit commodément à une formule récursive: Recursive signifie que les références de variance d'aujourd'hui (c'est-à-dire une fonction de la variance des jours précédents). La variance d'aujourd'hui (sous EWMA) équivaut à la variance d'hier (pondérée par lambda) plus le rendement au carré d'hier (pesé par un lambda négatif). Remarquez comment nous ajoutons simplement deux termes ensemble: la variance pondérée d'hier et la pondération pondérée hier, au carré. Même si, lambda est notre paramètre de lissage. Un lambda plus élevé (par exemple, comme RiskMetrics 94) indique une diminution plus lente dans la série - en termes relatifs, nous allons avoir plus de points de données dans la série et ils vont tomber plus lentement. En revanche, si l'on réduit le lambda, on indique une décroissance plus élevée: les poids diminuent plus rapidement et, en résultat direct de la décroissance rapide, on utilise moins de points de données. (Dans la feuille de calcul, lambda est une entrée, donc vous pouvez expérimenter avec sa sensibilité). Résumé La volatilité est l'écart-type instantané d'un stock et la métrique de risque la plus courante. C'est aussi la racine carrée de la variance. Nous pouvons mesurer la variance historiquement ou implicitement (volatilité implicite). Lors de la mesure historique, la méthode la plus simple est la variance simple. Mais la faiblesse avec la variance simple est tous les retours obtenir le même poids. Nous sommes donc confrontés à un compromis classique: nous voulons toujours plus de données, mais plus nous avons de données, plus notre calcul est dilué par des données distantes (moins pertinentes). La moyenne mobile pondérée exponentiellement (EWMA) améliore la variance simple en attribuant des pondérations aux rendements périodiques. En faisant cela, nous pouvons utiliser une grande taille d'échantillon mais aussi donner plus de poids à des retours plus récents. (Pour voir un tutoriel sur ce sujet, visitez la Tortue Bionique.) L'approche EWMA a une caractéristique attrayante: elle nécessite relativement peu de données stockées. Pour mettre à jour notre estimation à tout moment, nous avons seulement besoin d'une estimation préalable du taux de variance et de la valeur d'observation la plus récente. Un objectif secondaire de l'EWMA est de suivre les changements dans la volatilité. Pour les petites valeurs, les observations récentes affectent rapidement l'estimation. Pour les valeurs proches d'un, l'estimation change lentement en fonction des changements récents des rendements de la variable sous-jacente. La base de données RiskMetrics (produite par JP Morgan et mise à la disposition du public) utilise l'EWMA pour mettre à jour la volatilité quotidienne. IMPORTANT: La formule EWMA ne suppose pas un niveau de variance moyen à long terme. Ainsi, le concept de volatilité signifie la réversion n'est pas pris en compte par l'EWMA. Les modèles ARCHGARCH sont mieux adaptés à cet effet. Un objectif secondaire de l'EWMA est de suivre les changements dans la volatilité, de sorte que pour les petites valeurs, l'observation récente affecte l'estimation rapidement et pour les valeurs plus proches d'une, l'estimation change lentement aux changements récents des rendements de la variable sous-jacente. La base de données RiskMetrics (produite par JP Morgan) et rendue publique en 1994, utilise le modèle EWMA pour mettre à jour l'estimation quotidienne de la volatilité. La société a constaté que dans une gamme de variables de marché, cette valeur de donne la prévision de la variance qui se rapprochent le plus possible du taux de variance réalisé. Les taux d'écart réalisés un jour donné ont été calculés comme une moyenne pondérée égale sur les 25 jours suivants. De même, pour calculer la valeur optimale de lambda pour notre ensemble de données, nous devons calculer la volatilité réalisée à chaque point. Il existe plusieurs méthodes, alors choisissez-en une. Ensuite, calculez la somme des erreurs au carré (SSE) entre l'estimation EWMA et la volatilité réalisée. Enfin, minimiser la SSE en faisant varier la valeur lambda. Sonne simple C'est. Le plus grand défi est de convenir d'un algorithme pour calculer la volatilité réalisée. Par exemple, les gens de RiskMetrics ont choisi les 25 jours suivants pour calculer le taux de variance réalisé. Dans votre cas, vous pouvez choisir un algorithme qui utilise les prix Daily Volume, HILO et ou OPEN-CLOSE. Q 1: Peut-on utiliser EWMA pour estimer (ou prévoir) la volatilité à plus d'une étape La représentation de la volatilité EWMA n'assume pas une volatilité moyenne à long terme et donc, pour tout horizon de prévision au-delà d'une étape, l'EWMA renvoie une constante valeur:
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